定义求极限是高等数学中的一种基础方法，主要用于以下情况：

一、已知极限值的情况

当题目直接给出函数在某点的极限值，需要通过定义验证该值是否正确时使用。例如：

$$lim_{x to 2} frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

通过定义验证：

$$lim{x to 2} frac{x^2 - 4}{x - 2} = lim{x to 2} (x + 2) = 4$$

二、导数定义求导数

当函数在某点不可导或导数不存在时，需用导数的定义求极限。例如：

$$f(x) = |x|$$

在 $x = 0$ 处不可导，导数定义为：

$$f'(0) = lim{h to 0} frac{f(h) - f(0)}{h} = lim{h to 0} frac{|h|}{h}$$

通过左右极限分析可知导数不存在。

三、特殊函数极限

无穷大极限 ：当函数趋于无穷大时，可用定积分定义。例如：

$$lim_{x to 0^+} frac{1}{x} = +infty$$

可转化为定积分形式：

$$lim_{x to 0^+} frac{1}{x} = int_1^x frac{1}{t} dt = ln x Big|_1^x = ln x$$

当 $x to 0^+$ 时，$ln x to -infty$。

分段函数极限 ：在分段函数的间断点处，需分别计算左极限和右极限。例如：

$$f(x) = begin{cases}

x^2 & x geq 0

-x & x < 0

end{cases}$$

在 $x = 0$ 处：

$$lim{x to 0^-} f(x) = 0, quad lim{x to 0^+} f(x) = 0$$

因左右极限相等，故极限存在且为0。

四、其他情况

夹逼准则 ：当函数被两个收敛函数夹住时，可用夹逼准则求极限；

洛必达法则 ：适用于 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型未定式。

总结

定义求极限是基础且通用的方法，但效率较低。实际应用中需结合具体问题选择合适的方法，如导数定义、夹逼准则或定积分定义等。