关于间断点是否讨论端点的问题，需根据具体定义和区间类型进行区分：

一、闭区间端点的特殊性

在闭区间$[a, b]$上，函数在端点$a$处的连续性需要单独讨论，而在开区间$（a, b]$上则不需要。这是因为闭区间的端点具有“单侧极限”的特性：

左端点$a$ ：只需考虑左极限$lim_{x to a^+} f（x）$是否等于$f（a）$；

右端点$b$ ：只需考虑右极限$lim_{x to b^-} f（x）$是否等于$f（b）$。

若函数在端点处不满足单侧极限存在的条件，则该端点为间断点。

二、开区间端点不讨论的原因

开区间$（a, b）$的端点$a$和$b$不属于函数的定义域，因此在这些点上函数本身无定义，自然无法讨论连续性。例如函数$f（x） = frac{1}{x}$在区间$（0, 1]$上，$x=0$是开区间端点且不在定义域内，无需考虑其连续性。

三、典型例子说明

函数$f（x） = frac{1}{x}$在$[0, 1]$上的连续性

在$（0, 1]$上连续，因$f（x）$在$（0, 1]$内每点都可导且左右极限存在且相等；

在$x=0$处不连续，因左极限$lim_{x to 0^-} f（x） = -infty$不存在。

函数$sgn（x）$在$[-1, 1]$上的连续性

在$（-1, 1）$上连续，因$sgn（x）$是分段常值函数；

在$x=-1$和$x=1$处不连续，因左极限和右极限不相等（例如$lim{x to -1^-} sgn（x） = -1$，$lim{x to -1^+} sgn（x） = 1$）。

四、总结

间断点的讨论需结合函数定义域和连续性定义：

闭区间端点 ：需根据单侧极限判断；

开区间端点 ：因不在定义域内，无需讨论；

区间内部点 ：直接用连续性定义判断。

建议在具体问题中，先明确函数的定义域，再针对性分析端点处的连续性。