原函数保证连续的原因主要基于以下数学原理：

一、可导性与连续性的关系

可导必连续

若函数在某点可导，则该点必连续。这是因为导数的定义本身要求函数在该点的左极限和右极限存在且相等，而连续性的定义正是左右极限存在且等于函数值。

原函数与导函数的关系

原函数是通过不定积分或变限积分定义的。若函数 $f（x）$ 可导，则其导函数 $f'（x）$ 存在且连续，而原函数 $F（x）$ 是 $f'（x）$ 的不定积分。由于积分运算保留了连续性，因此原函数 $F（x）$ 必然是连续的。

二、积分上限函数的连续性

积分上限函数（如变限积分）是导函数的原函数，其连续性由微积分基本定理保证。若 $f（x）$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $F（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$ 在该区间上连续。

三、存在原函数与连续性的区别

需要注意的是，存在原函数的函数不一定是连续的。例如：

第一类间断点 ：可去间断点或跳跃间断点的函数存在原函数，但原函数在间断点处可能不连续。

初等函数 ：初等函数在其定义区间内连续，但其原函数可能不是初等函数（如 $ln|x|$ 的原函数包含绝对值函数，不是初等函数）。

四、总结

原函数保证连续的核心逻辑是：可导性蕴含连续性，而原函数是导函数通过积分（一种连续的累加过程）得到的，因此原函数必然连续。但反之不成立，即连续函数不一定有初等原函数。

补充说明 ：在闭区间上，连续函数不仅存在原函数，而且原函数可积且连续。