正定二次型是线性代数中的一个重要概念，具体定义如下：

定义 ：

正定二次型是指形如 $f（x） = X^T A X$ 的二次型，其中 $X$ 是列向量，$A$ 是对称矩阵，即 $A = A^T$。如果对于所有非零向量 $X$，都有 $f（X） > 0$，则称二次型 $f$ 为正定二次型，并称其对应的矩阵 $A$ 为正定矩阵。

性质 ：

对称矩阵 $A$ 的所有特征值都是正数。

正定二次型对应的矩阵 $A$ 是正定的，这意味着它的所有特征值都是正的。

对于任何非零向量 $X$，都有 $X^T A X > 0$。

判定方法 ：

行列式法 ：对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型（或对称矩阵）的正定性。

正惯性指数法 ：对于给定的二次型，先将二次型化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于矩阵的阶数来判定二次型的正定性。

关系 ：

正定的实二次型要求对于任何非0的向量 $X$，都有 $X^T A X > 0$，而半正定的要求 $X^T A X geq 0$。因此，正定的二次型一定是半正定的。

总结：

正定二次型是指对于所有非零向量 $X$，都有 $X^T A X > 0$ 的二次型，其中 $A$ 是对称矩阵。正定二次型对应的矩阵 $A$ 的所有特征值都是正数，并且可以通过行列式法和正惯性指数法等方法进行判定。正定二次型一定是半正定的。