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二阶偏导数就是对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx因为对多元函数的某一自变量求偏导时，“假定”其它变量为“常数”。换句话说，对变量求偏导的先后次序，并不影响最终的求偏导结果。
不失一般性，设z=f(x²y,xy²)具有二阶连续偏导数，我们来证明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。
设u=x²y，v=xy²，则 ∂u/∂x=2xy，∂u/∂y=x²；∂v/∂x=y²，∂v/∂y=2xy。故有
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)
∂²z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)]/∂y
=2x(∂f/∂u)+2xy(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+2y(∂f/∂v)+y²(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)
=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)
∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)
∂²z/∂y∂x=∂(∂z/∂y)/∂x=∂[x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)]/∂x
=2x(∂f/∂u)+x²(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+2y(∂f/∂v)+2xy(∂²f/∂v²)(∂v/∂x)
=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)
=∂²z/∂x∂y
显然，∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x，因此求二阶偏导时，与自变量的先后次序无关。
答其他回答（1条）
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乐高乐趣多
2026-09-30 07:24:53
二次偏导公式的顺序是先求对第一个自变量的偏导数，再求对第二个自变量的偏导数，最后求对两个自变量同时求偏导数。
这个顺序是非常重要的，因为如果先对第二个自变量求偏导数，再对第一个自变量求偏导数，得到的结果可能会和先对第一个自变量求偏导数，再对第二个自变量求偏导数得到的结果不同。
这是因为二次偏导数的计算是基于函数的二阶导数计算的，而二阶导数的计算顺序一定要按照先求一阶导数，再求二阶导数的顺序来进行，否则会导致计算结果的不准确。
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评论列表（4条）
我是公众科技网的签约作者“虎口拔牙的人”！
希望本篇文章《二次偏导公式顺序》能对你有所帮助！
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本文概览：二阶偏导数就是对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx因为对多元函数的某一自变量求偏导时，“假定”其它变量为“常数”。换句话说，对变量求偏导的先后次序，并不影响最终的求偏导结果。不失一般性，设z=f(x²y,xy²)具有二阶连续偏导数，我们来证明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。设u=x²y，v=xy²，则 ∂u/∂x=2xy，∂u/∂y=x²；∂v/∂x=y²，∂v/∂y=2xy。故有∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y