正态分布是一种在概率论和统计学中非常重要的连续概率分布。

设随机变量X服从正态分布N(

mu,

sigma^2)，其概率密度函数为：

f(x)=

frac{1}{

sqrt{2

pi}

sigma}e^{-

frac{(x-

mu)^2}{2

sigma^2}}

正态分布的数学期望E(X)可以通过对概率密度函数在整个实数轴上积分得到：

begin{aligned} E(X)&=

int_{-

infty}^{

infty}x

cdot f(x)

,dx

&=

int_{-

infty}^{

infty}x

cdot

frac{1}{

sqrt{2

pi}

sigma}e^{-

frac{(x-

mu)^2}{2

sigma^2}}

,dx

end{aligned}

令t=

frac{x-

mu}{

sigma}，则dx=

sigma dt，当x

o-

infty时，t

o-

infty；当x

o

infty时，t

o

infty。将其代入上式可得：

begin{aligned} E(X)&=

int_{-

infty}^{

infty}(

mu+

sigma t)

cdot

frac{1}{

sqrt{2

pi}}

cdot e^{-

frac{t^2}{2}}

cdot

sigma dt

&=

mu

int_{-

infty}^{

infty}

frac{1}{

sqrt{2

pi}}

cdot e^{-

frac{t^2}{2}}

,dt+

sigma

int_{-

infty}^{

infty}t

cdot

frac{1}{

sqrt{2

pi}}

cdot e^{-

frac{t^2}{2}}

,dt

end{aligned}

由于

int_{-

infty}^{

infty}

frac{1}{

sqrt{2

pi}}

cdot e^{-

frac{t^2}{2}}

,dt=1，所以上式可进一步化简为：

E(X)=

mu

接下来求正态分布的方差D(X)。

begin{aligned} D(X)&=E[(X-E(X))^2]

&=E[(X-

mu)^2]

&=

int_{-

infty}^{

infty}(x-

mu)^2

cdot

frac{1}{

sqrt{2

pi}

sigma}e^{-

frac{(x-

mu)^2}{2

sigma^2}}

,dx

end{aligned}

同样地，令t=

frac{x-

mu}{

sigma}，则dx=

sigma dt，将其代入上式可得：

begin{aligned} D(X)&=

sigma^2

int_{-

infty}^{

infty}t^2

cdot

frac{1}{

sqrt{2

pi}}

cdot e^{-

frac{t^2}{2}}

,dt

&=

sigma^2

end{aligned}

综上，正态分布的数学期望为

mu，方差为

sigma^2。