问问题描述
cauchy序列一定有极限吗，求路过的大神指点，急！
答精选答案
在X中收敛即在X中存在极限.假设存在极限c∈X,则c作为X中的元素只有有限项非零.设从c的第K项开始都是0,对n>K,考虑x_n-c,其第K项为1/K,由范数定义‖x_n-c‖≥1/K.即存在ε=1/K>0,对任意N,总存在n>N使‖x_n-c‖≥ε.即c不为{x_n}的极限,矛盾.不难理解,这个序列的极限应该是无限项非零的(1,1/2,1/3,...,1,...),它不在X中.
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本文概览：在X中收敛即在X中存在极限.假设存在极限c∈X,则c作为X中的元素只有有限项非零.设从c的第K项开始都是0,对n>K,考虑x_n-c,其第K项为1/K,由范数定义‖x_n-c‖≥1/K.即存在ε=1/K>0,对任意N,总存在n>N使‖x_n-c‖≥ε.即c不为{x_n}的极限,矛盾.不难理解,这个序列的极限应该是无限项非零的(1,1/2,1/3,...,1,...),它不在X中.