前面回答了很多关于几何直观的角度解释方向导数和梯度的，这里尝试从定义的角度直接解释。这里解释一下方向导数：直接从定义去解释，极限这里分母是在方向L上变化一段距离，分子是函数f在这段距离上相应的变化，相除就是自变量在方向L上变化一单位，相应的函数的变化量。

（类比一元函数的切线，x变化一单位，相应的函数y的变化量。

只不过函数的切线中，自变量只有一维，只能沿着x轴变化。

在上述定义给出的三维空间中，自变量有三个维度，我们可以任意变化x,y,z，这样的变化就是三维空间中的一个方向L）记住，这里的方向导数可以对三维中间中的任意一个方向求导数。

接下来给出梯度的定义从定义来看，梯度就是函数f在点对各个维度求偏导数组成的向量。（这里没什么难的，我们就是把这样的向量叫作梯度）下面这个定理对弄清楚梯度和方向导数的关系有帮助。

这个定理给出的是和定义1不同的，方向导数的另一个表达。

我们尝试理解一下这个定理，我们任意给出三维空间中的一个方向L，那么我们就可以通过 余弦角度 给出这个方向L的一个单位向量。这个单位向量就可以代表方向L。

再根据梯度的定义，那么这个定理就可以理解为，一个点的方向导数就是梯度向量和方向L单位向量的乘积。

写出来就是根据向量乘法的几何直观 是两个向量之间的角度，,是单位向量。0" alt="cos

varphi>0" eeimg="1"/> 时，的变化是正的，也就是f沿着L的方向是增长的，时，变化率最大，也就是L的方向和梯度的夹角为0时，（我们之前说过方向导数可以是对三维空间中的任意一个方向求导数，这里我们令L的方向就是梯度的方向）f增长的最大，此时f在L上的方向导数取得最大值时，的变化是负的，也就是f沿着L的方向是递减的，也就是L的方向和梯度的方向相反时（L这个方向是负梯度方向），f递减的最快，此时f在L上的方向导数取得最小值 根据上述解释，也印证了我们熟知的那句话：梯度方向是函数增长最快的方向，梯度向量相反的方向是函数下降最快的方向。