根据相关搜索结果，广西艺术培训机构的管理部门归属可总结如下：

一、主要监管部门

文化和旅游部门

艺术培训机构（如音乐、舞蹈、美术、乐器等）通常由文化和旅游部门负责监管。该部门负责制定文化艺术教育规划、审批机构设立、管理课程教材、监测教育质量及效益等。

教育局

若艺术培训涉及基础教育阶段（如中小学），则归教育局管理。但根据最新政策，自2024年7月起，艺术类校外培训机构不再纳入教育局监管范围。

二、其他可能涉及的部门

市场监督管理局 ：负责市场主体的登记注册及无照经营查处，消费者权益纠纷可通过该部门投诉。

体育局 ：部分地区的艺术体育类培训可能归体育局管理。

人力资源和社会保障局 ：职业技能类艺术培训（如乐器等级考试培训）由该部门监管。

三、建议与注意事项

政策差异 ：不同城市可能存在政策差异，建议办理前咨询当地文化和旅游部门或教育局，确认具体监管要求。

资质要求 ：需依法办理营业执照，涉及教师资质需向文化和旅游部门备案。

纠纷处理 ：若涉及消费者权益问题，优先向市场监督管理局投诉；若涉及教学纠纷，可向教育部门或社区管理部门反映。

综上，广西艺术培训机构主要归文化和旅游部门管理，但需结合具体培训类型及地区政策进一步确认。