关于纹眉培训的监管机构，需根据培训性质和具体问题进行区分：

一、若涉及教育培训

教育局

若纹绣机构属于正规教育培训机构，需向当地教育局投诉。教育局负责监督教育机构的资质和教学行为，可处理虚假宣传、违规收费等问题。

市场监管部门

若涉及商业培训且存在虚假宣传、合同纠纷等行为，可向市场监督管理局投诉。该部门负责维护市场秩序，对无证经营、价格欺诈等行为进行查处。

二、若涉及医疗美容服务

卫生健康部门

纹眉属于医疗美容项目，需由卫生健康部门监管。若机构无相关资质或超范围经营，可向当地卫生健康委员会举报，要求其展开调查并处罚。

工商管理部门

若机构无营业执照或存在无证经营、虚假宣传等问题，可拨打12315或当地工商部门办公室投诉，要求取缔非法机构并处罚。

三、其他投诉渠道

消费者协会 ：提供消费纠纷调解服务，可拨打12315或96315投诉，协助维护消费者权益。

法院诉讼 ：若其他途径无法解决，可向人民法院提起民事诉讼维权。

总结建议

建议优先确认纹绣机构的具体性质：

教育培训类：教育局

医疗美容类：卫生健康部门、市场监管部门

普通商业服务类：工商管理部门、消费者协会

根据问题类型选择对应监管部门进行投诉或举报，必要时可联合多部门联合执法。