根据搜索结果，遴选培训机构的管辖部门需根据机构类型和职能进行区分，具体如下：

一、职业技能类培训机构

审批与监管主体

由 人力资源社会保障局（人社局） 负责审批和日常监管。机构需通过办学能力评估，并满足相关条件后方可开展培训。

遴选程序

各级人社部门会组织公开遴选，通过竞争性程序确定定点培训机构。例如毕节市曾计划遴选不少于10家定点职业技能培训机构。

二、学历类及非学历类校外培训机构

教育部门主导管理

学科类培训机构 ：主要由 教育局 或 民办教育管理办公室（民管办） 监管，负责课程设置、收费审批及教师资质审核。

文化体育类、科技类等专项类培训机构 ：分别归 文旅局 、 科信局或工信局 管理。

街道办事处职责

负责其他类型培训机构及托管机构的统一管理，协调相关部门落实政策。

三、其他相关管理部门

市场监管局（原工商局） ：监督市场竞争秩序和消费者权益保护。

消费者权益保护局 ：配合市场监管局开展消费者权益保护工作。

总结

职业技能类 ：人社部门审批并监管。

学历类/非学历类校外培训 ：教育部门（教育局/民管办）为主管。

专项类培训 ：归文旅局、科信局等专项机构管理。

建议根据具体机构类型，咨询当地相关部门确认管辖主体。