校外培训机构的监管涉及多个部门，具体分工如下：

市教育体育局 ：负责实施学历教育、学前教育、自学考试助学等培训机构审核许可并牵头做好监督管理工作，不再审批新的面向义务教育阶段学生的学科类校外培训机构。

市文化广电和旅游局 ：负责九年义务教育阶段及高中教育阶段艺术类校外培训机构审核许可并牵头做好监督管理工作。

市科技局 ：负责从事编程、机器人、创客、科学探索等科技类培训机构审核许可并牵头做好监督管理工作。

市体育运动中心 ：负责体育类培训机构审核许可并牵头做好监督管理工作。

市就业创业服务中心 ：负责职业技能培训机构审核许可并牵头做好监督管理工作。

市市场监督管理局 ：负责培训机构的注册登记工作，配合牵头部门做好监督管理工作。

市民政局 ：负责实施非营利性培训机构的依法登记监督管理工作。

市卫健委 ：负责三岁以下婴幼儿托育机构备案并协调相关部门做好监督管理工作。

此外，根据《双减》意见，县级以上人民政府校外培训主管部门是执法主体，负责校外培训市场的综合执法。各类培训机构的主管部门各有差异，例如学科类培训机构由教育局负责监管，文化体育类培训机构由文旅局管理，职业技能类培训机构由人社局负责监管，科技类培训机构由科信局或工信局进行监督管理，其他类型的培训机构以及托管机构则由所在地区的街道办事处进行统一管理。

综上所述，校外培训机构由 教育、文化广电和旅游局、科技、体育、就业创业服务、市场监督管理、民政、卫健委等多个部门共同监管 ，确保其合法合规运营，保护学生的权益。