数学系考博的方向非常广泛，以下是一些常见的数学博士研究方向：

代数几何 ：研究高维空间中的点、线和曲线的性质及其相互关系，涉及环论、域论和同调代数等抽象概念。

拓扑学 ：研究空间的形状和结构，关注连通性、紧致性和同胚等问题。

微分几何 ：研究曲线、曲面和更高维度空间上的点的性质及其相互关系，与物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛应用。

概率论与统计学 ：研究随机现象的规律性和不确定性，在金融、保险、生物信息学和数据科学等领域有广泛应用。

数值分析 ：研究如何用计算机求解数学问题，尤其在计算机图形学、计算流体动力学和量子计算等领域有重要应用。

优化理论 ：研究如何找到最优解或近似最优解，以解决实际问题，在运筹学、机器学习和人工智能等领域有广泛应用。

控制理论 ：研究如何设计控制器以实现对系统的稳定和优化控制，在航空航天、机器人技术和自动驾驶等领域有重要应用。

动力系统 ：研究随时间变化的系统的行为，特别是具有复杂行为和混沌现象的系统。

代数与数论 ：研究数的性质、方程和代数结构。

分析 ：研究函数、极限、微积分、实分析和复分析等。

几何 ：研究形状、大小、空间关系以及拓扑结构。

数学物理 ：结合物理学和数学理论解决自然现象问题。

计算数学 ：研究算法和数据结构以解决实际问题。

应用数学 ：将数学方法应用于科学、工程和社会科学等领域。

数学逻辑 ：研究推理、证明和形式系统。

数论与编码 ：研究整数、密码学和编码理论。

控制论与优化 ：研究最优控制、最优化和机器学习。

数学生物学 ：结合生物学的原理和方法来研究生命现象。

数学哲学 ：探讨数学的本质、基础及其与现实世界的关系。

课程与教学论（数学） ：研究数学教育的方法和理论。

选择考博方向时，可以考虑自己的兴趣、专业背景以及未来职业规划。同时，不同高校和研究机构的研究方向和导师的研究领域也可能有所不同，建议关注目标院校的招生简章和导师团队信息以做出更合适的选择。