多元初等函数是由以下基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算构成的函数：

1. 幂函数：形如 \（ f（x） = x^n \） 的函数，其中 \（ n \） 是实数。

2. 指数函数：形如 \（ f（x） = a^x \） 的函数，其中 \（ a > 0 \） 且 \（ a \neq 1 \）。

3. 对数函数：形如 \（ f（x） = \log_a x \） 的函数，其中 \（ a > 0 \） 且 \（ a \neq 1 \）。

4. 三角函数：包括正弦函数 \（ \sin x \）、余弦函数 \（ \cos x \） 和正切函数 \（ \tan x \） 等。

5. 反三角函数：包括反正弦函数 \（ \arcsin x \）、反余弦函数 \（ \arccos x \） 和反正切函数 \（ \arctan x \） 等。

6. 常数函数：形如 \（ f（x） = c \） 的函数，其中 \（ c \） 是常数。

7. 绝对值函数：形如 \（ f（x） = |x| \） 的函数，它也可以看作是分段函数。

8. 多项式函数：形如 \（ f（x） = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \） 的函数，其中 \（ a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \） 是常数，且至少有一个 \（ a_n \neq 0 \）。

9. 开方函数：形如 \（ f（x） = \sqrt{x} \） 的函数，定义域为 \（ x \geq 0 \）。

10. 有限次的有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方。

11. 函数复合：将一个函数作为另一个函数的输入，例如 \（ f（g（x）） \）。

多元初等函数可以表示为这些基本初等函数的有限组合，并且可以用一个解析式来表示。例如，函数 \（ z = xy \） 就是一个多元初等函数，因为它是由两个基本初等函数 \（ x \） 和 \（ y \） 通过乘法运算组合而成的