高考中求解线性方程组主要采用以下两种方法：

一、高斯消元法

增广矩阵的构建

将线性方程组转化为增广矩阵形式，例如方程组：

$$

begin{cases}

x + 2y - z = 4

2x - y + 3z = 13

x + y - 2z = 5

end{cases}

$$

对应的增广矩阵为：

$$

left[begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 4

2 & -1 & 3 & 13

1 & 1 & -2 & 5

end{array}right]

$$

行变换化为阶梯形

通过初等行变换（交换两行、某行乘以非零常数、某行加减另一行的倍数）将矩阵化为行简化阶梯形：

第二行减去第一行的2倍：

$$

left[begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 4

0 & -5 & 5 & 5

1 & 1 & -2 & 5

end{array}right]

$$

第三行减去第一行：

$$

left[begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 4

0 & -5 & 5 & 5

0 & -1 & -1 & 1

end{array}right]

$$

第二行除以-5：

$$

left[begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 4

0 & 1 & -1 & -1

0 & -1 & -1 & 1

end{array}right]

$$

第三行加上第二行：

$$

left[begin{array}{ccc|c}

1 & 2 & -1 & 4

0 & 1 & -1 & -1

0 & 0 & -2 & 0

end{array}right]

$$

回代求解

从最后一行开始回代：

由$-2z = 0$得$z = 0$；

代入第二行得$y - 0 = -1$，即$y = -1$；

代入第一行得$x + 2（-1） - 0 = 4$，即$x = 6$。

最终解为：$x = 6, y = -1, z = 0$。

二、克拉默法则（适用于方阵且行列式非零）

计算系数矩阵的行列式

对于方程组：

$$

begin{cases}

x + 2y - z = 4

2x - y + 3z = 13

x + y - 2z = 5

end{cases}

$$

系数矩阵$A$为：

$$

begin{bmatrix}

1 & 2 & -1

2 & -1 & 3

1 & 1 & -2

end{bmatrix}

$$

计算行列式$|A|$：

$$

|A| = 1(-1 cdot -2 - 3 cdot 1) - 2(2 cdot -2 - 3 cdot 1) + (-1)(2 cdot 1 - (-1) cdot 1) = 1(2 - 3) - 2(4 - 3) - 1(2 + 1) = -1 - 2 - 3 = -6

$$

由于$|A| neq 0$，方程组有唯一解。

计算各未知量的行列式

$D_x$：将$A$的第一列替换为常数列$[4, 13, 5]$：

$$

D_x = begin{vmatrix}

4 & 2 & -1

13 & -1 &