求基础解系的一般步骤如下：

确定自由未知量

首先，通过初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵的非零行数即为系数矩阵的秩 $r$。

自由未知量的个数等于未知数的总数 $n$ 减去矩阵的秩 $r$，即 $n - r$。

转化为同解方程组

将阶梯形矩阵的每一行最左端的非零元素保留在方程组的左端，其余的 $n - r$ 个未知量移到等式右端。

令右端的 $n - r$ 个未知量中的一个为 1，其余为零，从而得到 $n - r$ 个解向量。

验证基础解系

验证这 $n - r$ 个解向量是否线性无关，并且方程组的任意解都可以由这 $n - r$ 个解向量线性表示。

写出基础解系

将这 $n - r$ 个解向量写成向量组的形式，这个向量组即为方程组的基础解系。

示例

假设有一个齐次线性方程组 $Ax = 0$，其系数矩阵 $A$ 是一个 $m times n$ 矩阵，且 $A$ 经过初等行变换化为阶梯形矩阵后，非零行数为 $r$。

确定自由未知量

自由未知量个数 $n - r$。

转化为同解方程组

将阶梯形矩阵转化为同解方程组，令自由未知量分别取值为 $[1, 0, ldots, 0]$，$[0, 1, ldots, 0]$，$ldots$，$[0, 0, ldots, 1]$，代入同解方程组求解。

验证基础解系

验证解向量是否线性无关，并且方程组的任意解都可以由这些解向量线性表示。

写出基础解系

将验证通过的解向量组写成向量组的形式，即为基础解系。

结论

基础解系是齐次线性方程组解集的极大线性无关组，其个数等于未知数的总数减去矩阵的秩。通过初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵，然后令自由未知量分别取特定值，求出对应的解向量组，即可得到基础解系。基础解系不是唯一的，因为自由未知量的取法可以不同。