在高三数学中，判断两个向量夹角的正负通常涉及以下步骤：

计算向量的点积

向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的点积定义为：

$$

mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta

$$

其中，$theta$ 是两个向量之间的夹角。

计算向量的模长

向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的模长分别为：

$$

|mathbf{a}| = sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

$$

$$

|mathbf{b}| = sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}

$$

求夹角的余弦值

将点积和模长代入点积公式，求出夹角的余弦值：

$$

cos theta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}

$$

判断夹角的正负

如果 $cos theta > 0$，则夹角 $theta$ 为锐角（0° < $theta$ < 90°）。

如果 $cos theta < 0$，则夹角 $theta$ 为钝角（90° < $theta$ < 180°）。

如果 $cos theta = 0$，则夹角 $theta$ 为直角（$theta = 90°$）。

示例

假设我们有两个向量 $mathbf{a} = （3, 4）$ 和 $mathbf{b} = （-3, 1）$，我们可以通过以下步骤求出它们之间的夹角：

计算点积

$$

mathbf{a} cdot mathbf{b} = 3 times (-3) + 4 times 1 = -9 + 4 = -5

$$

计算模长

$$

|mathbf{a}| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5

$$

$$

|mathbf{b}| = sqrt{(-3)^2 + 1^2} = sqrt{9 + 1} = sqrt{10}

$$

求夹角的余弦值

$$

cos theta = frac{-5}{5 times sqrt{10}} = frac{-5}{5sqrt{10}} = -frac{1}{sqrt{10}}

$$

判断夹角的正负

因为 $cos theta < 0$，所以夹角 $theta$ 为钝角（90° < $theta$ < 180°）。

通过以上步骤，我们可以确定两个向量之间夹角的正负。