收敛数列必有界的证明基于以下逻辑：

收敛数列的定义

如果数列 （ {a_n} ） 收敛于 （ A ），则存在一个自然数 （ N ），使得当 （ n > N ） 时，（ |a_n - A| < epsilon ） 对任意正数 （ epsilon ） 成立。

极限存在意味着有界

由于 （ A ） 是 （ {a_n} ） 的极限，对于任意小的正数 （ epsilon ），存在 （ N ） 使得当 （ n > N ） 时，（ |a_n - A| < epsilon ）。这意味着当 （ n > N ） 时，（ a_n ） 被限制在 （ A - epsilon ） 和 （ A + epsilon ） 之间。

前 （ N ） 项有界

对于 （ n leq N ） 的有限项，由于它们是有限的，自然也是有界的。

结合以上两点

结合以上两点，我们可以得出结论：对于收敛数列 （ {a_n} ），存在一个足够大的 （ N ），使得当 （ n > N ） 时，数列 （ {a_n} ） 的项被限制在一个区间内，这个区间包含了 （ A - epsilon ） 和 （ A + epsilon ）。同时，前 （ N ） 项作为有限项自然有界。

收敛数列有界性的定理

根据收敛数列有界性的定理，如果一个数列收敛，那么它必定有界。

因此，收敛数列必有界