a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

公式证明

⒈迭代法：

我们知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵

（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶

…………

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)

于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有

左边=(N+1）^4-1

右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N

所以：

把以上这已经证得的三个公式代入

4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1

得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2）

即

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

立方和公式推导完毕

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

2. 因式分解思想证明如下：

a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b

=a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2）